Et tog av tall
Problem
En spesiell følge av N påfølgende heltall begynner med 1111 på denne måten:
1111, 1112, 1113, …, (1111 + N – 1)
Hele følgen flyttes D plasser langs tallinja og det første tallet utelates slik at vi får en følge av N – 1 påfølgende tall på denne måten:
1112 + D, 1113 + D, …, (1111 + N – 1) + D
I begge følgene er summen av alle tallene den samme.
Hvilke mulige verdier kan N og D ha?
Løsning
Vi setter de to følgene lik hverandre:
1111+1112+1113+...+(1111+N−1)=1112+D+1113+D+...+(1111+N−1)+D
1111+1112+1113+...+(1111+N−1)=1112+1113+...+(1111+N−1)+(N−1)D
Trekker fra like tall på begge sider av likhetstegnet, og står igjen med:
1111=(N−1)D
Faktoriserer vi 1111, ser vi at det kan skrives som produkt på to måter:
1111=1111⋅1∧1111=101⋅11
Løsning:
N−1=1⇒N=2∧D=1111Sumavbeggefølger:2223N−1=11⇒N=12∧D=101Sumavbeggefølger:13398N−1=101⇒N=102∧D=11Sumavbeggefølger:118473N−1=1111⇒N=1112∧D=1Sumavbeggefølger:1853148
Du kan kontrollere summene med formelen for sum av aritmetisk rekke eller med regneark.
Ressursen er utviklet av NRICH